Función Valor Absoluto

Punto de partida

La función identidad: y = x

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Antes de hablar del valor absoluto, arrancamos desde algo conocido: la función identidad.

Función identidad: $ f(x) = x $
A cada número le asigna ese mismo número. Si $ x=1 $ entonces $ y=1 $. Si $ x=-4 $ entonces $ y $ también. La gráfica es una recta que pasa por el origen con pendiente 1.

Los valores negativos de $ x $ producen imágenes negativas, y los positivos producen imágenes positivas. Hasta acá, nada raro.

Ahora, si aplicamos valor absoluto a la $ x $, nos queda $ |x| $:

VALOR ABSOLUTO: Y = X

VALOR ABSOLUTO: Y = |X|

¿Qué pasó? La rama izquierda se "quebró" hacia arriba. El valor absoluto elimina el signo negativo: todo número que entre al módulo sale positivo (salvo el cero).

Intuición clave: el valor absoluto funciona como un espejo en el eje x. Todo lo que estaba por debajo del eje se "pliega" hacia arriba. Por eso la gráfica de $ y = |x| $ es una V simétrica.

Gema

¡Pensalo así! Si tenés un punto como $ x = -3 $, la identidad te daría $ y = -3 $ (abajo del eje). Pero el módulo lo "levanta": $ |-3| = 3 $. La distancia es 3, sin importar el signo. ¡La V es la firma del valor absoluto!

Definición

¿Qué es el valor absoluto?

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Definición: el valor absoluto de un número real $ x $ es su distancia al origen en la recta numérica. Siempre es positivo (o cero).

$$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$

Esta definición por casos refleja exactamente lo que vimos en el gráfico:

Para $ x \geq 0 $: la función no cambia nada ($ |x| = x $). La rama derecha es igual a la identidad.
Para $ x < 0 $: la función le da vuelta el signo ($ |x| = -x $, que resulta positivo). La rama izquierda se refleja hacia arriba.

Elvira

Traducción directa: $ |{-5}| = 5 $ porque la distancia de $-5$ al 0 es 5. $ |3| = 3 $ porque la distancia de 3 al 0 es 3. El módulo mide distancia, y la distancia nunca es negativa.

Forma general

Los parámetros $ a $, $ h $ y $ k $

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La forma más general de una función valor absoluto es:

$$ f(x) = a \cdot |x - h| + k $$

Cada parámetro tiene un rol específico. Son exactamente análogos a los parámetros de la función cuadrática $ f(x) = a(x-h)^2 + k $:

Apertura y orientación de las ramas

Si $ a > 0 $: las ramas abren hacia arriba (V normal). Si $ a < 0 $: las ramas abren hacia abajo (V invertida, como una Λ). El valor $ |a| $ controla la "apertura": mayor valor = ramas más cerradas (más empinadas).

Desplazamiento horizontal del vértice

El vértice se ubica en $ x = h $. Si $ h > 0 $: la V se desplaza a la derecha. Si $ h < 0 $: se desplaza a la izquierda. Ojo: en la fórmula aparece como $ |x - h| $, así que el signo es el opuesto al que se ve escrito.

Desplazamiento vertical del vértice

El vértice se ubica en $ y = k $. Si $ k > 0 $: la V sube. Si $ k < 0 $: la V baja. La imagen de la función arranca desde $ k $ (para arriba, si $ a > 0 $).

El vértice es el punto donde nacen las dos ramas: $ V = (h,\, k) $.
Dom f $ = \mathbb{R} $ siempre.
Im f $ = [k, +\infty) $ si $ a > 0 $, $ (-\infty, k] $ si $ a < 0 $.

Analogía con la parábola: todo lo que sabés de $ f(x) = a(x-h)^2 + k $ aplica acá. El vértice es $ (h, k) $, $ a $ controla la apertura y orientación, $ k $ sube o baja. La diferencia es que en vez de una curva, tenemos dos rectas que forman una V.

Elvira

Resumen rápido: $ a $ = orientación de las ramas. $ h $ = coordenada x del vértice. $ k $ = coordenada y del vértice. Con esos tres datos ya sabés dónde vive la función.

Método

Receta para graficar paso a paso

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Una vez que tenemos la función en la forma $ f(x) = a|x - h| + k $, el proceso es siempre el mismo:

Dominio

El dominio siempre es $ \mathbb{R} $. Anotalo y listo: $ \text{Dom } f = \mathbb{R} $.

Leer los parámetros

Identificá $ a $, $ h $ y $ k $. Determiná el vértice $ V = (h, k) $ y la orientación de las ramas (según el signo de $ a $).

Ordenada al origen (evaluar en $ x = 0 $)

Calculá $ f(0) = a|0 - h| + k $. Ese es el punto donde la función cruza el eje $ y $: $ P = (0,\, f(0)) $. Siempre hay una ordenada al origen en esta función.

Raíces (despejar $ f(x) = 0 $)

Planteá $ a|x - h| + k = 0 $ y despejá el módulo. Al despejar $ |x - h| = c $, se abren dos casos:

$ x - h = c \quad \Rightarrow \quad x = h + c $

$ x - h = -c \quad \Rightarrow \quad x = h - c $

Si $ c < 0 $ no hay soluciones reales. Si $ c = 0 $, hay una sola raíz (el vértice toca el eje $ x $).

Graficar y analizar

Con el vértice, la ordenada al origen y las raíces ya tenés suficientes puntos para trazar la V. Luego completá: imagen, intervalos de crecimiento/decrecimiento y conjunto de positividad/negatividad.

Crece en $ (-\infty, h) $ si $ a < 0 $, o en $ (h, +\infty) $ si $ a > 0 $.
Decrece en el intervalo opuesto.

Gema

Tip para las raíces: cuando despesás el módulo y te queda $ |x - h| = c $, el número $ c $ tiene que ser positivo para que haya solución. Si sale negativo, la gráfica no toca el eje $ x $. ¡Eso ya te da info antes de calcular!

Ejemplos resueltos

Tres casos: 2 raíces, 1 raíz, sin raíces

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Ejemplo 1 — Dos raíces: $ f(x) = -\dfrac{1}{2}|x - 4| + 1 $

Dominio $ \text{Dom } f = \mathbb{R} $

Parámetros: $ a = -\tfrac{1}{2} < 0 $ → ramas hacia abajo | $ h = 4,\; k = 1 $ → Vértice $ V = (4,\, 1) $
Imagen: $ \text{Im } f = (-\infty,\, 1] $

Ordenada al origen ($ x = 0 $):
$ f(0) = -\tfrac{1}{2}|0 - 4| + 1 = -\tfrac{1}{2} \cdot 4 + 1 = -1 $ → punto $ (0,\, -1) $

Raíces ($ f(x) = 0 $):

$ 0 = -\tfrac{1}{2}|x - 4| + 1 \quad\Rightarrow\quad |x - 4| = 2 $

$ x - 4 = 2 \Rightarrow x = 6 $ y $ x - 4 = -2 \Rightarrow x = 2 $

Análisis: Crece en $ (-\infty,\, 4) $ | Decrece en $ (4,\, +\infty) $
$ C^+ = (2,\, 6) $ | $ C^- = (-\infty,\, 2) \cup (6,\, +\infty) $

Ejemplo 2 — Una sola raíz: $ f(x) = -2|x + 4| $

Reescribimos: $ f(x) = -2|x - (-4)| + 0 $

Dominio $ \text{Dom } f = \mathbb{R} $

Parámetros: $ a = -2 < 0 $ → ramas hacia abajo | $ h = -4,\; k = 0 $ → Vértice $ V = (-4,\, 0) $
$ \text{Im } f = (-\infty,\, 0] $

Ordenada al origen: $ f(0) = -2|0 + 4| = -8 $ → punto $ (0,\, -8) $

Raíz: $ 0 = -2|x + 4| \Rightarrow |x + 4| = 0 \Rightarrow x = -4 $
Una sola raíz: el vértice toca el eje $ x $.

Crece en $ (-\infty,\, -4) $ | Decrece en $ (-4,\, +\infty) $
$ C^+ = \emptyset $ | $ C^- = (-\infty,\, -4) \cup (-4,\, +\infty) $

Ejemplo 3 — Sin raíces: $ f(x) = 2|x - 1| + 3 $

Dominio $ \text{Dom } f = \mathbb{R} $

Parámetros: $ a = 2 > 0 $ → ramas hacia arriba | $ h = 1,\; k = 3 $ → Vértice $ V = (1,\, 3) $
$ \text{Im } f = [3,\, +\infty) $

Ordenada al origen: $ f(0) = 2|0 - 1| + 3 = 5 $ → punto $ (0,\, 5) $

Raíces — intento $ f(x) = 0 $:

$ 0 = 2|x - 1| + 3 \Rightarrow |x - 1| = -\tfrac{3}{2} $

El valor absoluto nunca puede ser negativo. No hay soluciones: la gráfica no corta el eje $ x $.

Crece en $ (1,\, +\infty) $ | Decrece en $ (-\infty,\, 1) $
$ C^+ = \mathbb{R} $ | $ C^- = \emptyset $

Elvira

Ojo con el ejemplo 3: cuando despejás el módulo y te queda $ |\square| = \text{negativo} $, no digas "no se puede resolver" — decí directamente "no hay raíces" y justificá que el valor absoluto nunca devuelve valores negativos.

⚠ Errores típicos

Lo que más se confunde

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Error 1: confundir el signo de $ h $
Si la función es $ f(x) = |x + 3| $, muchos dicen "el vértice está en $ x = 3 $". Incorrecto. La forma estándar es $ |x - h| $, así que $ |x + 3| = |x - (-3)| $ → $ h = -3 $, el vértice está en $ (-3,\, k) $.

Error 2: decir que $ |x - h| = c $ tiene solución cuando $ c < 0 $
El valor absoluto siempre es mayor o igual a cero. Si despejás y te queda un número negativo al otro lado, la ecuación no tiene solución real. No hagas los "dos casos" igual.

Error 3: olvidar los dos casos al despejar el módulo
Cuando $ |x - h| = c $ con $ c > 0 $, siempre hay dos soluciones: $ x = h + c $ y $ x = h - c $. Muchos resuelven solo uno y pierden una raíz.

Error 4: calcular mal la imagen según el signo de $ a $
Si $ a > 0 $: Im $ f = [k,\, +\infty) $. Si $ a < 0 $: Im $ f = (-\infty,\, k] $. No al revés.

Gema

Truco para no confundir la imagen: imaginá el vértice como el "piso" (si abre hacia arriba) o el "techo" (si abre hacia abajo). La imagen siempre comienza en $ k $ y se extiende en la dirección en que abren las ramas.

✅ Verificación

Checklist antes de entregar

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Antes de dar por terminado un ejercicio, verificá que hayas completado todo:

Dom f declarado ($ \mathbb{R} $). No olvidar escribirlo aunque parezca obvio.

Vértice identificado correctamente con el signo de $ h $ bien leído.

Raíces: dos casos si $ c > 0 $, una si $ c = 0 $, ninguna si $ c < 0 $.

Imagen correcta: hacia arriba si $ a > 0 $, hacia abajo si $ a < 0 $.

Ordenada al origen calculada evaluando $ f(0) $. No confundir con la raíz.

Gráfico con los puntos clave marcados: vértice, raíces y ordenada al origen.

Práctica

Ejercicios para resolver

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Resolvé cada ejercicio aplicando la receta paso a paso. Las respuestas están ocultas: intentalo antes de mirar.

1. 2 raíces — Analizá completamente: $ f(x) = |x + 2| - 2 $ ▼

Parámetros: $ a = 1,\; h = -2,\; k = -2 $

Vértice: $ V = (-2,\, -2) $ | Im f: $ [-2,\, +\infty) $

Ord. al origen: $ f(0) = |2| - 2 = 0 $ → el gráfico pasa por el origen.

Raíces: $ |x + 2| = 2 $ → $ x = 0 $ y $ x = -4 $

Crece: $ (-2,\, +\infty) $ | Decrece: $ (-\infty,\, -2) $

$ C^+ = (-\infty,\, -4) \cup (0,\, +\infty) $ | $ C^- = (-4,\, 0) $

2. 2 raíces — Analizá completamente: $ f(x) = -|x - 1| + 3 $ ▼

Parámetros: $ a = -1,\; h = 1,\; k = 3 $

Vértice: $ V = (1,\, 3) $ | Im f: $ (-\infty,\, 3] $

Ord. al origen: $ f(0) = -|{-1}| + 3 = 2 $

Raíces: $ |x - 1| = 3 $ → $ x = 4 $ y $ x = -2 $

Crece: $ (-\infty,\, 1) $ | Decrece: $ (1,\, +\infty) $

$ C^+ = (-2,\, 4) $ | $ C^- = (-\infty,\, -2) \cup (4,\, +\infty) $

3. Sin raíces — Analizá completamente: $ f(x) = 2|x + 1| + 1 $ ▼

Parámetros: $ a = 2,\; h = -1,\; k = 1 $

Vértice: $ V = (-1,\, 1) $ | Im f: $ [1,\, +\infty) $

Ord. al origen: $ f(0) = 2|1| + 1 = 3 $

Raíces: $ 2|x+1| = -1 $ → $ |x+1| = -\tfrac{1}{2} $ → No hay raíces (módulo no puede ser negativo).

Crece: $ (-1,\, +\infty) $ | Decrece: $ (-\infty,\, -1) $

$ C^+ = \mathbb{R} $ | $ C^- = \emptyset $

4. 1 raíz — Analizá completamente: $ f(x) = \dfrac{1}{3}|x - 3| - 2 $ ▼

Parámetros: $ a = \tfrac{1}{3},\; h = 3,\; k = -2 $

Vértice: $ V = (3,\, -2) $ | Im f: $ [-2,\, +\infty) $

Ord. al origen: $ f(0) = \tfrac{1}{3} \cdot 3 - 2 = -1 $

Raíces: $ \tfrac{1}{3}|x-3| = 2 $ → $ |x-3| = 6 $ → $ x = 9 $ y $ x = -3 $

Crece: $ (3,\, +\infty) $ | Decrece: $ (-\infty,\, 3) $

$ C^+ = (-\infty,\, -3) \cup (9,\, +\infty) $ | $ C^- = (-3,\, 9) $

5. Desafío — Encontrá el valor de $ k $ para que $ f(x) = 3|x - 2| + k $ tenga exactamente una raíz. ▼

Para que haya exactamente una raíz, el vértice debe estar sobre el eje $ x $, es decir $ k = 0 $.

Verificación: con $ k = 0 $, $ f(x) = 3|x-2| $ → raíz en $ x = 2 $. $ |x-2| = 0 $ tiene una única solución.

Si $ k > 0 $: sin raíces. Si $ k < 0 $: dos raíces. Entonces $ k = 0 $ es la única posibilidad.

Función Valor Absoluto

Ejemplo 1 — Dos raíces: \( f(x) = -\dfrac{1}{2}|x - 4| + 1 \)

Ejemplo 2 — Una sola raíz: \( f(x) = -2|x + 4| \)

Ejemplo 3 — Sin raíces: \( f(x) = 2|x - 1| + 3 \)

Función Valor Absoluto

Ejemplo 1 — Dos raíces: \( f(x) = -\dfrac{1}{2}|x - 4| + 1 \)

Ejemplo 2 — Una sola raíz: \( f(x) = -2|x + 4| \)

Ejemplo 3 — Sin raíces: \( f(x) = 2|x - 1| + 3 \)

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